Heinrich Kühn wurde im sächsischen Erlbach-Kirchberg in der Nähe von Stolberg geboren.
Gemeinsam mit Carl Ribbe reiste er um 1884 u. a. nach Indonesien und West-Guinea, wo sie als "Naturaliensammler" (Wichmann 1910) auch ethnographische Objekte sammelten. Carl Ribbe (1860-1934) ist als Entomologe/Lepidopterologe nicht zu verwechseln mit seinem Vater Heinrich Ribbe, der derselben Tätigkeit nachging wie sein Sohn, aber nicht in Südostasien, sondern in Zentralamerika unterwegs war (C. Ribbe 1907), insbesondere in Panamas Provinz Chiriqui im Auftrag von Otto Staudinger (Staudinger 1875). Allerdings sammelte H. Ribbe in späteren Jahren auch Objekte aus Südostasien in seiner "Collection" (Plötz 1885), wobei er selbst in Dresden-Blasewitz blieb und die Objekte anderer reisender Sammler, darunter C. Ribbe und H. Kühn, erwarb bzw. veräußerte. Das Museum für Völkerkunde Dresden erwarb 1883 die ersten von C. Ribbe und H. Kühn auf den Aru-Inseln gesammelten Kulturgüter. Dieser Ankauf wurde überwiegend vom deutschen Forschungsreisenden und Mäzen Arthur Baessler finanziert. Das Völkerkunde Museum Leipzig kaufte 1885 ebenfalls einen Teil der Ribbe-Kühn'schen Sammlung an (Bericht des MVL 1885).
Seit 1902 litt Kühn an Malaria und er starb 1906 an den Folgen einer Operation im indonesischen Surabaya.
Nach Kühn sind die Schmetterlingsarten Papilio kuehni, Pieris kuehni, Hestia kuehni, Jolaus kuehni und Amblypodia kuehni sowie die Vogelarten Zosterops kuehni Hartert und Tyto alba kuehni Hartert benannt.